Antes de elucidar o Teorema de Tales é necessário entender a relação entre duas retas concorrentes r e t:
O local em que as duas retas se cruzam é chamado de vértice. E nesse vértice é possível identificar 4 ângulos: a,b,c,d, sendo:
a e c: ângulos opostos pelo vértice;
b e d: ângulos opostos pelo vértice;
A relação entre duas retas concorrentes mostra que ângulos opostos pelo vértice apresentam a mesma medida, ou seja, o mesmo valor numérico, desta forma são congruentes (iguais).
Já comportamento entre duas retas paralelas r e s cortadas por uma terceira reta transversal, como mostrado na figura abaixo:
Na figura há a presença de oito ângulos, sendo:
a e c: ângulos congruentes opostos pelo vértice;
b e d: ângulos congruentes opostos pelo vértice;
f e h: ângulos congruentes opostos pelo vértice;
e e g: ângulos congruentes opostos pelo vértice;
Denomina-se ângulos internos os ângulos que estão entre as duas retas paralelas. Em relação aos ângulos internos é possível classificá-los em colaterais ( aqueles que estão do mesmo lado da reta transversal) e em internos (aqueles que estão em lados diferentes da reta transversal), então:
c e f: ângulos internos colaterais.
d e e: ângulos internos colaterais.
f e d: ângulos internos alternos.
e e c: ângulos internos alternos.
Os ângulos alternos internos são congruentes, ou seja, apresentam o mesmo valor numérico. Já os ângulos alternos colaterais são suplementares, ou seja, ao somarem os dois ângulos obtêm-se o valor de 180º. Com base nisso, pode-se considerar:
a.c,e e g: são ângulos congruentes.
b,d,f e h: são ângulos congruentes.
O Teorema de Tales
Note que ao inserir uma reta Normal entre as retas paralelas r,s ( lembre-se: uma reta Normal sempre forma um ângulo reto com a base) e cortando a reta transversal t, formando dois triângulos semelhantes.
Os ângulos x,y são semelhantes, pois são opostos pelo vértice. Já os ângulos d e f são congruentes.
Assim, os dois triângulos formados são semelhantes, pois apresentam as mesmas medidas de ângulos, sendo seus lados proporcionais.
O Teorema de Tales diz que quando duas retas paralelas são cortadas por outras duas retas transversais, os segmentos formados pela intersecção entre elas são proporcionais.
Para elucidar esse Teorema feito por Tales, observe a figura abaixo.
Note que as retas v e t são as retas transversais as retas paralelas q, r e s.
Os segmentos formados A,B,C,D são proporcionais entre si, segundo o Teorema de Tales, logo a razão entre eles deve se manter constante.
Triângulos e o Teorema de Tales
Quando o Teorema de Tales é aplicado aos triângulos, a bissetriz de qualquer ângulo interno divide o lado oposto em duas partes proporcionais em relação aos seus lados adjacentes. Esse caso também é conhecido como Teorema da Bissetriz interna.
Mas afinal, o que é uma bissetriz?
A bissetriz é qualquer segmento de reta que divida um ângulo ao meio. Na figura abaixo,a bissetriz é o segmento AD, desta forma, a razão entre os lados AB e AC é igual a razão entre os lados BD e CD.
